Александр Николаевич a.k.a. Саша (aadamchuk) wrote,
Александр Николаевич a.k.a. Саша
aadamchuk

праздничное

вот все, наверно, с детства знают ещё от древних египтян, что

3^2 + 4^2 = 5^2

замечательно тут то, что числа 3 4 5 - последовательные

некоторые наверно даже знают, что

10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2

и здесь замечательно то, что числа 10 11 12 13 14 - последовательные
и то, что справа квадратных чисел ровно на одно меньше, чем слева

сегодня мне вдруг представилось, что таких вот замечательных тождеств должно быть бесконечно много

3^2 + 4^2 = 5^2

10^2 + 11^2 + 12^2 = 13^2 + 14^2

21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2

36^2 + 37^2 + 38^2 + 39^2 + 40^2 = 41^2 + 42^2 + 43^2 + 44^2

55^2 + 56^2 + 57^2 + 58^2 + 59^2 + 60^2 = 61^2 + 62^2 + 63^2 + 64^2 + 65^2

и т. д.

теперь внимательный глаз легко заметит, что все такие последовательности чисел всегда начинаются с треугольного числа, T(2n) = n(2n+1),
и заканчиваются наибольшим целым числом, предшествующим следующему треугольному числу, T(2n+1) - 1 = (n+1)(2n+1) - 1 = n(2n+3)

тут много ещё всякой красоты скрыто

так например, квадраты в правой части этих тождеств всегда начинаются с квадрата числа,
являющегося суммой двух последовательных квадратов

5 = 1^2 + 2^2

13 = 2^2 + 3^2

25 = 3^2 + 4^2

41 = 4^2 + 5^2

61 = 5^2 + 6^2


и т. д.

вот такая вот петрушка

PS ещё интересно заметить, что суммы в правых и левых частях этих тождеств никогда не могут быть простыми числами

дело в том, что эти суммы всегда делятся на соответствующие квадратно-пирамидальные числа SP(n) = n(n+1)(2n+1)/6

1 = 1^2

5 = 1^2 + 2^2

14 = 1^2 + 2^2 + 3^2

30 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2

55 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2


например,

(41^2 + 42^2 + 43^2 + 44^2) / (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2) = 7230 / 30 = 241

(61^2 + 62^2 + 63^2 + 64^2 + 65^2) / (1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2) = 19855 / 55 = 361

в результате такого деления всегда получается число вида 12n^2 + 12n + 1,
являющееся центрированным 24-угольным числом

NB обратите внимание, что две последние цифры в результате деления в точности совпадают с первым числом в начале строки 41^2 + ... = 241 и 61^2 + ... = 361

полагаю, что это не простое совпадение, а некая внутренняя закономерность

я осмелюсь предположить, что последние цифры в таких соотношениях всегда совпадают
а если последняя цифра оказывается 1, то и предпоследние цифры совпадают

в последнем примере наше 24-угольное число 361 оказалось ещё и полным квадратом 361 = 19^2

задачка:

(XSC.24) "найдите общую формулу (рекуррентную или любую другую) для центрированных 24-угольных чисел 12n^2 + 12n + 1, являющихся одновременно и полными квадратами"

***

Subscribe

  • МЕСС И Я

    клин зэ месс из чёрной мессы сам не местный не чужой не данте с известной пьесы и не цапл с его ужой вот ужо достанем карты всех салтанов атласа…

  • ЕЕЕЕ

    я не нарушил всех запретов и дни мои не сочтены спаси бо партии за ето и за раздел моей страны страну раздели до нага мы все моногамы комитет…

  • ПРО ЗАвчера

    вчера забыв пассворд не смог войти в компьютер вот черти думал чёрт сломали бабе рутер пришёл мой старший брат и мигом всё наладил но я тому не рад…

  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic
  • 25 comments

  • МЕСС И Я

    клин зэ месс из чёрной мессы сам не местный не чужой не данте с известной пьесы и не цапл с его ужой вот ужо достанем карты всех салтанов атласа…

  • ЕЕЕЕ

    я не нарушил всех запретов и дни мои не сочтены спаси бо партии за ето и за раздел моей страны страну раздели до нага мы все моногамы комитет…

  • ПРО ЗАвчера

    вчера забыв пассворд не смог войти в компьютер вот черти думал чёрт сломали бабе рутер пришёл мой старший брат и мигом всё наладил но я тому не рад…